统计信号处理作业

在超密集网络中基于连接的定位：CRLB，理论方差，和MLE

摘要

​  超密集网络（UDNs, ultra-dense networks）中基于连接的地理定位的性能分析是一项非常重要的任务。虽然已经对无距离定位进行了一些性能分析，但确定无距离定位的最佳可实现定位精度仍然是一个有待解决的问题。在本文中，我们首先推导了对无范围定位的性能评估的Cramer-Rao下界（CRLB）。文献中关于无距离定位的所有当前性能分析都用于评估给定算法的实际性能，而所提出的CRLB提供了评估任何无偏无距离定位算法性能的基准，并确定了无偏估计器的方差小于界的物理不可能性。

​  据我们所知，这是文献中第一次推导出用于无距离定位的CRLB。其次，推导了任意节点分布下基于质心定位的理论方差。与均匀节点分布下CL的现有理论方差相比，所提出的理论方差可用于评估任意节点分布情况下CL的性能。此外，本文还给出了所提出的CRLB的特性和理论方差。最后，为了提高定位精度，提出了一种基于最大似然估计器的最优估计器。由于我们的算法有效地利用了空间节点分布的先验信息和连通性，因此所提出的方法比CL方法性能更好，并且可以渐近地获得CRLB。

引言

​  随着网络设备数量的增加，超密集网络（UDN）系统中盲节点（BN）的位置估计近年来引起了[1]的广泛关注。无线位置作为一个重要的公共安全功能，在未来的无线通信系统中创造了许多潜在的应用，如位置敏感的计费、欺诈保护、人员/资产跟踪、车队管理、移动黄页、无线网络设计、无线电资源管理和智能交通系统[2]、[3]。

​  虽然全球导航卫星系统（GNSSs），如全球定位系统（GPSs），可以提供较高定位精度的定位服务，但其局限性，包括高功率消耗，在室外丰富散射场景和城市峡谷的性能下降，阻止GNSSs应用于复杂的城市和室内环境。

从广义上讲，无线通信系统中的定位技术可以分为两类：

​  (1)基于范围的定位方法

​  (2)无范围的定位方法（也称为基于连接的定位）。

​  几种基于距离的定位技术，包括到达时间（TOA）、到达时差（TDOA）、到达角度（AOA）、基于接收信号强度（RSS）的方法和混合定位方法，被用于无线定位。基于范围的定位首先利用承载角和绝对或相对距离建立BN和参考节点（RNs）之间的显式几何关系，这些距离是由AOA、TOA、RSS和TDOA测量值估计的。然后，根据几何模型可以得到BN的位置。由于其定位精度高，基于范围的定位方法已经在文献[4]-[25]中得到了广泛的研究。研究了视线（LOS）环境[4]-[9]下的封闭解和迭代算法。对于非视线（NLOS）传播，开发了几何约束条件[10]-[12]和机器学习理论[13]-[16]来减轻NLOS误差。这些研究大多是基于单一的测量路径。为了进一步提高定位精度，在[17]，[18]中提出了基于多天线阵列的多路径传播环境的AOA定位算法。此外，在文献[19]-[25]中，还推导出了许多精度的几何稀释度和Cramer-Rao下界（CRLBs）。

​  本文从CRLB和理论方差的角度分析了无范围定位的性能。本文还提出了基于最大似然估计量（MLE）的最优估计量。本文的主要贡献如下：

​  (1)本文推导了一个具有随机分布RNs的UDN中无范围定位的CRLB。虽然已经对无距离定位[26]、[27]、[31]进行了一些性能分析，但确定无距离定位的最佳可实现定位精度仍然是一个有待解决的问题。所有当前的性能分析[26]，[27]，[31]无距离定位用于评估给定算法的实际性能，而提出CRLB提供了一个基准来评估任何无偏的位置算法的性能和确定物理不可能的方差无偏的估计器小于绑定。据我们所知，这是文献中首次推导出无范围定位的CRLB。

​  (2)推导了具有任意节点分布的CL(centroid-based localization)方法的理论方差。需要注意的是，[26]中CL方法的理论方差是针对均匀节点分布推导出的。所提出的理论方差可用于评估任意节点分布情况下CL的性能。此外，本文还提供了所提出的CRLB的特征和理论方差。

​  (3)提出了一种基于MLE的最优估计器来提高定位精度。由于该算法有效地利用了空间节点分布的先验信息和连通性，因此该方法优于CL方法，并能渐近得到CRLB。

​  本文的组织结构如下。第二节给出了信号模型和一些基本的符号。在第三节中，本文首先推导了一个在随机分布的UDN中无距离定位的CRLB。然后，导出了任意节点分布下CL方法的理论方差。在本节的最后给出了所提出的CRLB和理论方差的一些特征。第四节提出了一种基于MLE的基于连通性信息和RN分布的迭代方法。第五节给出了所提出的CRLB的性能评价、理论方差和位置方法。本文的结论见第六节。

系统模型

​  无距离定位的目的是利用BN和RNs之间的连接信息来定位BN。通常，CL算法包括两个阶段：监听和定位。在监听阶段，BN尝试监听并与RNs沟通。当接收到的信号功率超过检测阈值时，建立通信链路。在定位阶段，BN的位置近似为在其传输范围内所有RN的位置（RN的质心）位置的平均值。显然，CL的性能受到许多因素的影响，如节点密度和随机性、无线信道环境和位置方案。

​  无线信道环境对定位系统的性能起着非常重要的作用。这个通道环境决定了可以检测到多少和哪些RNs用于定位。传播模型通常是用来描述无线信道的情况，并预测在距离发射机的给定距离下的平均接收信号强度。虽然有几种传播模型[32]，[33]，本文选择了路径损失法向阴影模型，因为它被广泛应用于通信和定位应用，并已通过现场测量[32]得到证实。

​  假设（x，y）是待估计的BN的位置，并且N个RNs系统中第i个RN的已知坐标为（xi，yi），如果不失一般性，可以将BN的位置设为（0,0）。第i个RN和BN之间的真实距离可以建模为： \[r_i = \sqrt{(x_i - x)^2 + (y_i - y)^2}\] ​  基于路径损失正态阴影模型，测量的RNi（dBm）的接收功率Pi可以视为对数正态变量[32]。因此，Pi和ri之间的关系变为： \[P_i=P_0-10 \beta log_{10}(\frac {r_i} {r_0}) + n_i\] ​  式中，β为路径损失指数，表示路径损失随距离增加的速率；ni是一个零均值高斯随机过程，标准方差（std）σ，单位为分贝（dB）；P0为参考距离r0处的参考功率，它取决于传输功率。一般来说，r0=1米。为简单起见，本文将r0设为1m。本文利用路径损失法向阴影模型推导出了无距离定位的CRLB和MLE。

​  节点的随机性是影响该定位方法性能的另一个主要因素。在文献中，基于不同的假设，提出了不同的节点分布。文献中首先提出了均匀分布，建立了一个节点分布模型，假设传感器节点均匀分布在半径为R [26]，[27]，[34]的圆盘中。然而，最近，人们已经认识到，均匀分布节点的假设对于实际部署的无线网络[35]，[36]是相当不可信的。事实上，节点的空间分布依赖于许多因素，如部署方法、节点的周围环境、节点的运动，甚至是通信协议。根据中心极限定理，实际节点位置将遵循高斯分布[35]，[36]。在这个模型中，根据二维高斯空间分布，协方差矩阵σp 2i。一个RN位于（xi，yi）的概率可以用概率密度函数（PDF）[36]来描述： \[f(x_i , y_i) = \frac {1} {2 \pi \sigma _p ^2}exp(- \frac {(x_i - x) ^2} {2 \sigma _p ^2} - \frac {(y_i - y) ^2} {2 \sigma _p ^2})\] ​  需要注意的是，(3)是基于笛卡尔坐标系的。对于极坐标，PDF (3)可以写成： \[f(r_i) = \frac {1} {\sigma _p ^2}exp(- \frac {r _i ^2} {2 \sigma _p ^2}) r_i\\f(\phi _i)= \frac {1} {2 \pi }\] ​  其中ri是第i个RN和BN之间的范围。 $ _i = acos((x−x_i)/r_i) $ 是RN i相对于BN的方位角。式(4)表明，RN将在不同方向上以相同的概率出现，而f（xi，yi）只取决于RN与BN之间的距离。这也意味着靠近BN的RN可能比在更大距离的RN有更高的概率。

​  CL(centroid-based localization, 基于质心的定位)是最简单的无范围定位方法，它只需要BN和相邻rN之间的二进制连接信息。CL算法基于以下假设[28]：

​  (1)有完美的球形无线电传播

​  (2)所有无线电具有相同的传输范围（功率）

​  (3)RN对称地分布在一个BN周围。

​  (4) CL仅基于从相邻RNs收集的连通性信息（单跳假设）。

​  假设（1-3）保证了CL算法是一个无偏估计量，第四个假设简化了定位过程。由于仿真和实验结果都证明了该模型在整洁环境[28]下非常符合户外无线电传播，因此本文也遵循了这些假设。BN定位于与RNs集合的连通性区域相交重合的区域，该区域由RNs [28]的质心定义： \[(\hat x , \hat y)=(\frac 1 M \sum _{i=1} ^ M x_i , \frac 1 M \sum _{i=1} ^ M y_i )\] ​  其中M≤N是实际参与定位过程的RNs的数量。从(5)可以看出，CL算法只对RN的坐标进行平均，用等权值估计BN的位置。为了进一步提高定位精度，文献中提出了几种加权CL（WCL）算法[37]-[48]。[37]中早期的WCL算法使用链路质量指示作为权值，并应用于基于zigbee的传感器网络中 \[(\hat x , \hat y)=(\frac {\sum _{i=1} ^ M w_i x_i} {\sum _{i=1} ^ M w_i} , \frac {\sum _{i=1} ^ M w_i y_i} {\sum _{i=1} ^ M w_i} )\] ​  其中，权重wi是RSS Pi的函数。由于现有的WCL算法需要RSS测量，这些都是基于范围的定位技术，超出了我们的研究范围。本文主要研究了仅使用单跳连接信息的无范围定位技术。

基于连接性的定位技术的理论分析

​  本节推导出CRLB和理论方差来研究无距离定位技术的性能。CRLB对于参数估计非常重要，因为它提供了一个基准来评估任何无偏估计器的性能，而理论方差被用来评估给定算法的真实性能。

CRLB

​  对于无距离定位技术，BN的位置使用被检测的位置估计RN的位置。因此，测量向量为s = [x1，y1，···，xM，yM ] T，待估计的参数向量θ为[x，y] T。

​  假设PDF满足“规律性”条件： \[E\left[\frac{\partial\ln f\left(\mathbf{s};\boldsymbol{\theta}\right)}{\partial\boldsymbol{\theta}}\right]=0\text{ for all }\boldsymbol{\theta}\] ​  然后，将CRLB矩阵定义为Fisher信息矩阵（FIM）Jθ的逆： \[E((\hat{\theta}-\theta)(\hat{\theta}-\theta)^T)\geq\mathbf{J}_\theta^{-1}\] ​  Fisher信息矩阵的确定为[49]： \[\mathbf{J}_{\theta}=\begin{bmatrix}J_{xx}&&J_{xy}\\J_{xy}&&J_{yy}\end{bmatrix}=E\left[\frac{\partial\ln f\left(\mathbf{s};\boldsymbol{\theta}\right)}{\partial\boldsymbol{\theta}}\left(\frac{\partial\ln f\left(\mathbf{s};\boldsymbol{\theta}\right)}{\partial\boldsymbol{\theta}}\right)^T\right]\] ​  其中 \[f\left(\mathbf{s};\theta\right)=\prod_{i=1}^{M}f\left(x_{i},y_{i};\theta\right)\\f\left(x_{i},y_{i};\theta\right)=\frac{\Phi\left(r_{i}\right)f\left(x_{i},y_{i}\right)}{\gamma}\] ​  f（xi，yi）描述了节点的空间分布概率，定义为(3)。 \[f(x_i , y_i) = \frac {1} {2 \pi \sigma _p ^2}exp(- \frac {(x_i - x) ^2} {2 \sigma _p ^2} - \frac {(y_i - y) ^2} {2 \sigma _p ^2})\] $ (r_i) $ 为检测概率，表示在RN i处接收到的信号功率超过检测阈值Pth的概率。

γ是一个归一化常数： \[\gamma=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Phi\left(r_{i}\right)f\left(x_{i},y_{i}\right)dx_{i}dy_{i}=\int\limits_{0}^{+\infty}\Phi\left(r\right)f\left(r\right)dr\]

因为 $ P_i=P_0-10 log_{10}( {r_0}) + n_i $ ,其中接收功率Pi、β为路径损失指数，表示路径损失随距离增加的速率、ni是一个零均值高斯随机过程，标准方差（std）σ，单位为分贝（dB）、P0为参考距离r0处的参考功率，它取决于传输功率。 \[f\left(P_i\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{\left(P_i-P_0+10\beta\log_{10}\left(r_i\right)\right)^2}{2\sigma^2}\right)\] 所以开始， $ (r_i) $ 可计算为： \[\begin{aligned}&\Phi\left(r_{i}\right) \\&=p\left(P_{i}\geq P_{th}\right)=\int_{P_{th}}^{+\infty}f\left(P_{i}\right)dP_{i} \\&=\int_{P_{th}}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{\left(P_{i}-P_{0}+10\beta\log_{10}\left(r_{i}\right)\right)^{2}}{2\sigma^{2}}\right)dP_{i}\end{aligned}\] 使用替代方法，（14）可简化为： \[\Phi\left(r_i\right)=\int_{\varphi\left(r_i\right)}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\nu^2}{2}\right)d\nu \] 其中 \[\varphi\left(r_i\right)=\begin{pmatrix}P_{th}-P_0+10\beta\log_{10}\left(r_i\right)\end{pmatrix}/\sigma \] 和 $ (r_i) $ 可以使用MATLAB函数“erfc”来计算： \[\Phi\left(r_i\right)=0.5erfc\left(\frac{\varphi\left(r_i\right)}{\sqrt{2}}\right)\] 方程（17）表明， $ (r_i) $ 只依赖于一个给定系统的距离ri。将（10）-（17）替换为(9)，如附录所示，基于连接的定位技术的CRLB为： \[CRLB=tr\left\{\mathbf{J}_\theta^{-1}\right\}=\frac{4}{\bar{\psi}^2M}\] 其中 $ {}^2 $ ： \[\begin{aligned}\bar{\psi}^{2}& = \frac{1}{\gamma}\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{1}{\Phi\left(r\right)}\frac{b}{r}\exp\left(-\frac{\varphi\left(r\right)^{2}}{2}\right)+\frac{r}{\sigma_{p}^{2}}\right)^{2}\times\Phi\left(r\right)\frac{1}{\sigma_{p}^{2}}\exp\left(-\frac{r^{2}}{2\sigma_{p}^{2}}\right)rdr \\& b = 10\beta/\left(\ln10\sqrt{2\pi}\sigma\right) \end{aligned}\] 由于M是检测BN的RNs的数量，并由RNs N的总数和信道传输模型(2)决定，因此在每个定位过程中可能会发生变化。为了评估平均性能，将平均CRLB定义为 \[CRLB_{average}=E [CRLB]=E\left[\frac{4}{\bar{\psi}^{2}M}\right]=\frac{4}{\bar{\psi}^{2}}E\left[\frac{1}{M}\right]\] 显然，数值计算可以直接用于计算E [1/M]。为了进行进一步的性能分析，本文提出了一种分析方法。当M足够大时，期望均值可以替换为样本均值[34]，平均CRLB近似为： \[CRLB_{average}\approx\frac{4}{\bar{\psi}^{2}}\frac{1}{\bar{M}}\] 其中 \[\begin{aligned}\bar{M}& =E [M]=E [N\Phi (r)] \\&=NE\left[\Phi\left(r\right)\right]=N\int_{0}^{+\infty}\Phi\left(r\right)f\left(r\right)dr \\&=N\int_{0}^{+\infty}\Phi\left(r\right)\frac{1}{\sigma_{p}^{2}}\exp\left(-\frac{r^{2}}{2\sigma_{p}^{2}}\right)rdr\end{aligned}\]

具有任意节点分布的质心定位的理论方差

​  类似于CRLB，它提供了一个基准来评估任何无偏定位算法的性能，理论方差对于性能分析非常重要，因为它被用来评估给定算法的真实性能。虽然对于均匀节点分布[26]已经提出了CL算法的理论方差，但任意节点分布的情况仍然是一个有待解决的问题。本小节推导了具有任意节点分布的CL算法的理论方差。理论方差的定义为： \[\begin{aligned}\operatorname{cov}(\theta)& =tr\left\{E\left(\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta}\right)\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{\theta}\right)^{T}\right)\right\} \\&=E\left(\left(\widehat{x}-x\right)^{2}+\left(\widehat{y}-y\right)^{2}\right)\end{aligned}\] ​  将CL估计值(5)替换入（24），得到： \[\mathrm{cov}\left(\boldsymbol{\theta}\right)=E\left(\left(\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}x_{i}-x\right)^{2}+\left(\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}y_{i}-y\right)^{2}\right)\] ​  上式中的第一项可以写成： \[\begin{aligned}&E\left(\left({\frac{1}{M}}\sum_{i=1}^{M}x_{i}-x\right)^{2}\right) \\&=E\left(\left(\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}\left(x_{i}-x\right)\right)^{2}\right) \\&\left.=E\left(\frac{1}{M^{2}}\left(\sum_{i=1}^{M}(x_{i}-x)^{2}+\sum_{i=1}^{M}\sum_{i=1}^{M}(x_{i}-x)\left(x_{j}-x\right)\right)\right)\right)\end{aligned}\] ​  注意，在i 不等于 j的情况下，xi和xj是独立的，它可以从RN节点分布(3)中得到E（xi−x）= 0。因此，（26）可以简化为： \[E\left(\left(\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}x_{i}-x\right)^{2}\right)=E\left(\frac{1}{M^{2}}\sum_{i=1}^{M}\left(x_{i}-x\right)^{2}\right)\] ​  同理： \[E\left(\left(\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}y_{i}-y\right)^{2}\right)=E\left(\frac{1}{M^{2}}\sum_{i=1}^{M}\left(y_{i}-y\right)^{2}\right)\] ​  将（27）和（28）代入（25），CL算法的理论方差可计算为： \[\mathrm{cov}\left(\boldsymbol{\theta}\right)=E\left(\frac{1}{M^{2}}\sum_{i=1}^{M}r_{i}^{2}\right)=E\left(\frac{1}{M}\right)\bar{r}^{2}\approx\frac{\bar{r}^{2}}{\bar{M}}\] ​  类似于（22），E [1/M]可以使用数值方法或近似方法（23）来求解。

​  ¯r2可计算为： \[\bar{r}^{2}=\frac{1}{\gamma}\int_{0}^{+\infty}r^{2}\Phi\left(r\right)f\left(r\right)dr\] ​  其中f (r)为rN和BN之间范围的PDF。使用不同的f (r)，可以使用（29）和（30）计算具有任意节点分布的CL的理论方差。

​  对于高斯节点分布，f (r)可以从(4)得到： \[f\left(r\right)=\frac{1}{\sigma_{p}^{2}}\exp\left(-\frac{r^{2}}{2\sigma_{p}^{2}}\right)r\quad0<r\] ​  对于均匀的节点分布，f (r)为： \[f\left(r\right)=\frac{2r}{R^{2}}\quad0<r<R\] ​  其中，R为均匀节点分布的分布半径。

所提出的CRLB的特征和理论方差

所提出的CRLB的特征和理论方差。

​  命题1：对于高接收功率，所提出的CRLB可以近似为： \[CRLB_H\approx\frac{2\sigma_p^2}N\] ​  备注1：命题1表明，在高信噪比（SNR）情况下，无距离方法的性能主要取决于信N的节点分布，而不是信道环境。这种现象的发生是因为所有的rn都可以连接到一个具有良好信道环境的BN。

​  此外，下面还提出了密度λ对所提出的CRLB的影响

​  命题2：在高接收功率下，所提出的CRLB可以用密度λ近似为： \[CRLB_H\approx\frac{1}{5.95\pi\lambda}\] ​  命题2表明，CRLB与λ呈负相关。这意味着一个更密集的网络将导致更高的定位精度。因此，无范围的方法是UDN的首选解决方案。以下命题提供了CL的实际性能与所提出的CRLB之间的关系。

​  命题3：在高斯节点分布和高接收功率的情况下，基于质心的定位的理论方差等于CRLB： \[\operatorname{cov}(\theta)_H=CRLB_H=\frac{2\sigma_p^2}{N}\] ​  备注2：由于理论方差代表了CL方法的实际性能，因此从命题3中可以确定，在高信噪比的情况下，CL方法可以达到CRLB。这可以解释为这样一个事实，即在高信噪比的情况下，几乎所有的rN都可以与BN通信。因此，对于8 (r)→1和γ→1，联合PDF（11）简化为高斯节点分布(3)。对于高斯PDF (3)，质心估计(5)是一个MLE。众所周知，MLE是渐近无偏的，并且可以渐近地获得具有明显的大测量值的CRLB。它是渐近有效的和最优的[49]。因此，CL在高信噪比的情况下具有最佳的性能。命题3也证明了所提出的CRLB的有效性。对于一个更实用的信噪比变化的信道，下一节提出了一种基于MLE的新的定位方法来提高性能。

基于